川蜻蛉の舞う渓にて

出題編からの続きです。
出題編はコチラを参照ください「20年間考えていた難問（出題編）」

「分数の割り算をする時に、何故ひっくり返して掛けるのか、小学生でも理解できるように説明する方法って何か無いかな？」

私がつい最近到達した、この課題の「真実」・・・
この難問が、難問たる最大の所以は『割り算』という言葉だったんです！！

皆さん、小学生に「割り算って何？」と尋ねられたとき、どう答えますか？
説明に色々な方法はあるでしょうが・・・
「分けるために使うのが割り算」
「引き算を繰り返して、何回引けるのか」
などと言う説明をする方が多いのでは無いでしょうか？
この説明が間違っているわけではありません、割り算を初めて習う小学生に説明する方法としては、非常に理解しやすい正しい説明だと思います。
しかし、この考え方では分数の割り算を判りやすく説明する事は出来ないんです。
分数で割る、と言う事が、一体どういうことなのか？これをまず説明できない事には、先に進む事は出来ません。

うまく説明するためには、この考え方をまず説明しなくてはなりません
割り算の別解釈
「割り算とは、一単位辺りの量を求める計算である」
小学生には難しいですね・・・（；＾＾Ａ

出来るだけ判りやすく行きましょう！

例題）
１０ｍ２の花だんに、毎日３０リットルの水をまんべんなくまいたら、花がとてもきれいに咲きました。
新しく１ｍ２の花だんを作りました。
こちらも花をきれいに咲かせたいので、同じように水をまこうと思います。
１ｍ２の花だんには、何リットル水をまけば良いでしょうか？

まずは普通に計算して見ます


答え：３リットル


「１単位辺りの量」と言う考え方の元で、この例題を解きます。
１０ｍ２ が １ｍ２になった時、３０リットルは何リットルになりますか？
と考えてみましょう。

このように図を書いてみます。


そしてまず、こう考えます

□には何が入りますか？

１０ｍ２を１ｍ２にするためには、１／１０を掛けます。
なので、１０ｍ２が１ｍ２になった時に、３０リットルが何リットルになるのかを計算するためには
３０リットルにも１／１０を掛ければ良いのです。


答え：３リットル


問題を少し変えてみます
例題）
４／７ｍ２の花だんに、毎日２／３リットルの水をまんべんなくまいたら、花がとてもきれいに咲きました。
新しく１ｍ２の花だんを作りました。
こちらも花をきれいに咲かせたいので、同じように水をまこうと思います。
１ｍ２の花だんには、何リットル水をまけば良いでしょうか？

まずは普通に計算して見ます

分数の割り算になってしまいました


先ほどと同じように、「１単位辺りの量」と言う考え方の元で、この例題を解きます。
４／７㎡ が １㎡になった時、２／３リットルは何リットルになりますか？
と考えてみましょう。

このように図を書いてみます。



□には何が入りますか？


分数をひっくり返して掛けると、必ず１になります。
（この説明をするには、必ず「逆数」を先に教えておかなければなりません。）
→実はココには誤魔化しが入っています！
何故逆数を掛けると「１」になるのか、明確な理由に触れていません。
ただ、約分を実際にさせてみるなどすれば、感覚的に「必ず１」になる事は、理解してもらえると思います。

４／７ｍ２を１ｍ２にするためには、４／７の逆数７／４を掛けます。
なので、４／７ｍ２が１ｍ２になった時に、２／３リットルが何リットルになるのかを計算するためには
２／３リットルにも、４／７の逆数７／４を掛ければ良いのです。


答え：７／６リットル

今の事をまとめると、即ちこういう事になります

『分数の割り算をする時は、割る方の分数をひっくり返して掛ける。』

当然のことながら、得られる結論は一緒です。
しかし、同じように機械的にひっくり返して掛けるという計算をしているにしても、「何故か？」を判った上で計算する方が何倍も「しっくりくる」ような気がします。


一応、小学生で習う範囲で、分数の割り算の概念を説明出来ました。
ただ・・・「一単位辺りの量」、と言う考え方はかなり難しいです（代表的なものは速度です）。

あくまでも私が調べた範囲では、分数の割り算より後にならないと小学校で教えないようです。
なので、もしも私と同じ考え方に至った先生が居たとしても
「学習指導要領」的に、『教える事が出来ない』のです！！

そして、仮に後先が逆になって教える事が可能になったとしても・・・
理解させるまでのプロセスは複雑で、かなりの時間が要する事になると思います。
で、結果的に理解させる事が出来たとしても、する事は「ひっくり返して掛ける」、ただそれだけです。
「理由はいらないから、ひっくり返して掛ける、と覚えておけば良い」と言うやり方のほうが、遥かに効率的です。
その上、このプロセスを理解できる子だけの学力のある子であれば、ただ「ひっくり返して掛ければ良い」と言われても
それを受け入れる事が出来る場合が多いでしょうね。

ただ小学校の授業で、理由も教えずに「機械的な計算方法」のみを身に付けさせるって・・・
これは無いですよね？
前回の記事で書いた補習塾で出会った子供たちの中には、「勉強は出来ないけれど頭は良い」と言う子は少なくない数いました。
「納得できないとそこから一歩も先に進めない」、そんな子も沢山いました。
きっと今の（今までの）日本の学習指導要領って、そういう子は「出来ない子」として切り捨ててきたんだろうな・・・

今更ながら思いますが、もしもこの難問に２０年前の時点で答えが出ていたならば
私は学校の先生になっていたんじゃないかと思います。
う～んと田舎の生徒が１０人もいないような「分校」の学校の先生になりたいなぁ・・・結構本気でそう思っていた時期がありました（笑）

Kawatombo Ken